Ornament & Crime マニュアル解読(2) Low-rents

Low-rents

Low-rentsは、Mutable Instruments Streams の Easter egg にある Lorenz アトラクター^*1・モジュレーション・ジェネレーターを移植したもので、これに Rössler アトラクター^*1が追加されている。

*1 Lorenz アトラクター と Rössler アトラクターとはいったいなんなんだろう。前者については何となく知っているけれど、後者についてはまったく分からないので、調べて、というより書き写してみる。詳細は欄外。

2つの独立したファンクション・ジェネレーター（ここでは「ジェネレーター 1」 と「ジェネレーター 2」 と呼ぶ）が用意されており、各ジェネレーターは同じ位相累算器（アキュムレーター accumulator）^*2を使用して、Lorenz 関数と Rössler 関数の両方を同時に計算するが、各ジェネレーターのレートおよびスピードは独立して設定可能。Lorenz 関数も Rössler 関数も 3 つの値（x、y、z）を出力し、これらの様々な組み合わせを 4 つの出力チャンネルにマッピングすることができる。カオティックなストレンジアトラクター^*3は、低速変調機能として最適。

*2 accumulate は「蓄積する」「積み上げる」。この場合は「位相に関する論理演算や算術演算の被演算子を一時的に保持しておくメモリ」という解釈で合ってるのかな。

*3 ストレンジアトラクターとは「カオスと呼ばれる非周期的軌道から成るアトラクターで、バタフライ効果として知られる初期値鋭敏性とフラクタルな幾何学的構造を持つ」アトラクターであり、Lorenz アトラクターはストレンジアトラクターの性質を持つものとされている。また、Rössler 方程式は特定のパラメータの範囲においてストレンジアトラクターを持つ。（Wikipedia を参照した）

o_C モジュールの出力電圧範囲は、ピッチCVを処理するように設計されているため、非対称（約-3V～+6V）であることに注意が必要。Low-rents アプリの出力は 0V を中心としたものではない。

制御機能

設定

Lorenz アトラクターと Rössler アトラクターのパラメータ Rho と c は、それぞれカオス発生系の変動の度合いを決定する。
この値は、関数が崩壊しないように制約されているが、極端な設定の組み合わせによっては、ジェネレーター機能が完全に崩壊することがある。
その場合は、Rho/c の設定を変更し、関連するトリガー入力に位相リセットのためのパルスを送信して、ジェネレーターをリセットする。

*4 ここで「XOR とは？」というポンコツ全開の疑問にぶち当たる。いわゆるロジックモジュール的なものというか、そもそも論理演算に関して、ずいぶん前に勉強したはずなんだけれど全然何も覚えてないので、ここで勉強しておくことにする。詳細は欄外。

スクリーンセーバー

スクリーンセーバーは、A および B 出力を画面の左半分に、C および D 出力を画面の右半分に、ベクトルスコープ（X/Y）で表示する。

Tips

X/Y（ベクトルスコープ）信号を表示できるオシロスコープを持っている場合は、どちらかのタイプのジェネレーターの X, Y, Z 出力のペアをオシロスコープにつなぎ、古典的で奇妙なアトラクターのパターンを観察してみるとよい。

Lorenz アトラクター と Rössler アトラクター

要するに「カオティック」なのね、ってことくらいしか分かってないけど。

Lorenz アトラクター

ローレンツ方程式（ローレンツほうていしき）とは、数学者・気象学者であるエドワード・ローレンツ（Edward Lorenz）が最初に研究した非線型常微分方程式である。特定のパラメータ値と初期条件に対してカオス的な解を持つことで注目されている。特に、ローレンツ方程式のカオス解の集合はローレンツ・アトラクターと呼ばれる。いわゆるバタフライ効果の説明に用いられることが多く、決定論的な連立常微分方程式が初期値鋭敏性を持つことは驚きをもって迎えられ、カオス研究の端緒となった。（中略）
スメイルの14番目の問題は「ローレンツアトラクターはストレンジアトラクターの性質を持つか？」というものであった。この問題は2002年にウォリック・タッカーによって肯定的に解決された。（後略）

Wikipedia「ローレンツ方程式」より引用

Rössler アトラクター

レスラー方程式（レスラーほうていしき、Rössler equation）とは、3次元の連続時間力学系の一種。（中略）
西ドイツの化学者オットー・レスラーにより、1976年の論文 “An equation for continuous chaos” で最初に提唱された。レスラーは、1963年にアメリカの気象学者エドワード・ローレンツが発表したローレンツ方程式のカオスに触発され、ローレンツ方程式をより単純化した方程式からカオスが生み出されることを考察するために導入した。ローレンツ方程式は気体の熱対流の計算モデルから方程式を導いたのに対して、レスラー方程式は実在の物理現象をベースにせずカオスの研究のために作為的に導入されたものである。
カオスが発生するには、力学系は必ず非線形性を持つ必要があり、なおかつ連続時間力学系の場合は3変数以上が必要になる。レスラー方程式の非線形項は第3式目の xz のみとなっており、カオスを発生させる連続時間力学系の中でも非常に単純な非線形しか持たない点が特筆される。
レスラー方程式は特定のパラメータの範囲でストレンジアトラクターを持つ。特に、パラメータ a = 0.2、b = 0.2、c = 5.7 はレスラーにより最初に導入されたときのパラメータ値で、このパラメータ値のときのストレンジアトラクターはレスラー・アトラクタ（Rössler attractor）として良く知られている。このアトラクタの形は、メビウスの帯のような、リボンを一回ひねって両端を合わせた形になっている。（後略）

Wikipedia「レスラー方程式」より引用

論理回路

※こちらのサイトを参考にさせていただきました。

どんな論理回路でも NAND または NOR だけで構成できる（NAND 論理の完全性 / NOR 論理の完全性）んですって。世界で初めてそれに気づいた人って、気づいたとき、どんな気持ちだったんだろう。

それはともかく、上の *4 について言えば、「どちらかがゼロの時だけ、ゼロじゃない方の位相に応じた電圧が出力される」と理解しておけばいいのかな。
あああああ、オシロスコープ欲しい。出力を波形で並べて「なるほど！」って納得したい！